Question

已知真命題：“函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數y=f（x+a）-b 是奇函數”．
（1）將函數g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象的平移變換法則，求出平移后函數的解析式，并根據奇偶性的性質判斷函數為奇函數，結合題目中已知的真命題，可得答案．
（2）設函數h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（a，b），由題設知函數f（x）=h（x+a）-b是奇函數．根據奇函數定義域對稱及定義可求出a，b的值，得到對稱中心坐標．

解答：解：（1）將函數g（x）=x³-3x²的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，
平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）³-3（x+1）²+2=x³-3x，
由于函數y=x³-3x是奇函數，
由題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心的坐標是（1，-2）．
（2）設函數h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（a，b），
由題設知函數f（x）=h（x+a）-b是奇函數．
則f（x）=log2

2(x+a)

4-(x+a)

-b．由不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集關于原點對稱，得a=2．
此時f（x）=log2

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）．
任取x∈（-2，2），
由f（-x）+f（x）=0，得b=1，
所以函數函數h（x）=log2

2x

4-x

圖象對稱中心為P（2，1）

點評：本題考查的知識點是函數圖象與圖象變化，奇偶函數圖象的對稱性，熟練掌握函數圖象平移變換法則及奇函數的定義和性質是解答的關鍵．