Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集為空集，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據絕對值內的零點去掉絕對值，將函數寫成分段形式，分段解不等式即可；（2）根據題意將問題轉化為2≤f（x）min，由絕對值三角不等式得到函數最值，求得參數范圍即可。

解析：

（1）當a=3時，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=

不等式f（x）≤4即為 或 或.

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，則為0≤x≤4，

則解集為[0，4]；

（2）依題意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由絕對值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴實數a的取值范圍是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．