Question

在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查矩陣的變換中的伸壓變換，橫坐標、縱坐標拉伸和壓縮變換與矩陣中數的對應關系；逆矩陣變換公式

解答：解：A、證明：如圖，連接OP、BP．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°．
又∵CE=BE，∴EP=EB．∴∠3=∠1．
∵OP=OB，∴∠4=∠2．
∵BC切⊙O于點B，∴∠1+∠2=90°．
∠3+∠4=90°．
又∵OP為⊙O的半徑，
∴PE是⊙O的切線．
B、（1）由條件得矩陣M=

2 0 0 3

，
它的特征值為2和3，對應的特征向量為

1 0

及

0 1

；
（2）M-1=

1 2 0 0 1 3

，
橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為x²+y²=1．
C、解：（Ⅰ）x²+y²-4x-4y+6=0；

x=2+ 2 cosα y=2+ 2 sinα

（α為參數）

（Ⅱ）x+y=4+2sin（α+

π

4

）最大值6，最小值2．

D、解：a小于|x+2|+|x-1|的最小值即可，
而t=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
t_min=3，
只要a≤3．

點評：矩陣變換的幾種形式，特征值與特征向量的對應關系．