Question

【題目】在中，內角的對邊分別為，已知.

（1）求角的值；

（2）若，當取最小值時，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：方法一：（Ⅰ）利用正弦定理、誘導公式、兩角和的正弦公式化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，由條件和完全平方公式化簡后，利用基本不等式求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積；方法二：（Ⅰ）利用余弦定理化簡已知的式子得到邊的關系，由余弦定理求出cosC的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C；（Ⅱ）利用余弦定理列出方程，結合條件消元后，利用一元二次函數的性質求出c的最小值，由面積公式求出△ABC的面積

試題解析：解法一（1）∵，∴ ……………………1分

∴ ……………2分

即 ……………3分

∴ 4分

∵ ∴ …………5分

又∵是三角形的內角，∴ ……6分

（2）由余弦定理得： …………7分

∵ ,故 8分

∴ （當且僅當時等號成立） ………10分

∴的最小值為2，故 ……12分

解法二：（1）∵，∴ ………1分

∴ ，即 …………3分

∴ …5分

又∵是三角形的內角，∴ 6分

（2）由已知，，即，故：

……………8分

∴ …………10分

∴當時，的最小值為2，故 …………12分