Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數f（x）的極值點的個數；

（2）若f（x）有兩個極值點，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數的導數，，按、、三種情況分類討論，得出函數的單調性，進而得出函數的極值；

（2）由（1）知，當時，極值點，是方程的兩根，化簡得，設，，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數，

得，，

（i）若時；，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所以當，函數取得極小值，是的一個極小值點；

（ii）若時，則，即時，此時，在是減函數，無極值點，

當時，則，令，解得，，

當和時，，當時，，

∴在取得極小值，在取得極大值，所以有兩個極值點，

綜上可知：（i）時，僅有一個極值點；(ii).當時，無極值點；

(iii)當，有兩個極值點.

（2）由（1）知，當且僅當時，有極小值點和極大值點，

且，是方程的兩根，∴,，

則

，

設，，則，

∴時，是減函數，，

∴，

∴.