Question

已知四邊形ABCD滿足，E是BC的中點，將△BAE沿AE翻折成，F為的中點．
（1）求四棱錐的體積；
（2）證明：；
（3）求面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）．

試題分析：本題主要考查面面垂直、線面垂直、錐體的體積、線面平行、二面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力．第一問，由已知條件知，△ABE為等邊三角形，所以取AE中點，則，由面面垂直的性質得B₁M⊥面AECD，所以是錐體的高，最后利用錐體的計算公式求錐體的體積；第二問，連結DE交AC于O，由已知條件得AECD為棱形，O為DE中點，在中，利用中位線，得，再利用線面平行的判定得面ACF；第三問，根據題意，觀察出ME，MD，兩兩垂直，所以以它們為軸建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標以及相關向量的坐標，利用向量法中求平面的法向量的方法求出平面和平面的法向量，最后利用夾角公式求夾角的余弦．
（1）取AE的中點M，連結B₁M，因為BA=AD=DC=BC=a，△ABE為等邊三角形，則B₁M=，又因為面B₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，
所以        4分
（2）連結ED交AC于O，連結OF，因為AECD為菱形，OE=OD所以FO∥B₁E，
所以。     7分

(3)連結MD，則∠AMD=，分別以ME,MD,MB₁為x,y,z軸建系，則,

,,,所以1，，,,設面ECB₁的法向量為，，
令x="1," ，同理面ADB₁的法向量為
， 所以，
故面所成銳二面角的余弦值為．    12分