Question

【題目】設是圓上的一動點，點在直線上線段的垂直平分線交直線于點．

（1）若點的軌跡為橢圓，則求的取值范圍；

（2）設時對應的橢圓為，為橢圓的右頂點，直線與交于、兩點，若，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由已知可得點在的垂直平分線上，有，進而，根據點的軌跡為橢圓，由橢圓定義可得，即在圓外，得出不等量關系，結合關系，即可求解；

（2）根據（1）求出橢圓方程，設出直線，以及，，根據直線與橢圓相交關系結合韋達定理，求出的值，轉坐標關系，可得出直線過定點，得到，再利用韋達定理，求出關于的目標函數，結合的范圍，利用換元法，轉化為二次函數的最值，即可求解.

解：（1）若的軌跡為橢圓，則必在圓內，

此時的垂直平分線交線段于點，

，

∴，

∵在直線上，∴，

∴，則．

（2）當時，為，此時，

∴的軌跡為以、為焦點的橢圓，其中，，，

∴橢圓的方程為．

∵為右頂點，∴為，設，，

，∵，∴，

即，①

∵，在直線上，

∴①式變為，②

聯立直線方程與橢圓方程，

得，

∴，，

代入②式得，∴或，

當時，、或、重合，

與、為非零向量矛盾，舍去．

∴，直線為，過定點，

此時

令，則，

∵，∴，

即時，有最大值，最大值為．