Question

設f（x）是定義在集合D上的函數，若對集合D中的任意兩數x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，則f（x）是定義在D上的β函數．
（1）試判斷f（x）=x²是否是其定義域上的β函數？
（2）設f（x）是定義在R上的奇函數，求證：f（x）不是定義在R上的β函數．
（3）設f（x）是定義在集合D上的函數，若對任意實數α∈[0，1]以及集合D中的任意兩數x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）是定義在D上的α-β函數．已知f（x）是定義在R上的α-β函數，m是給定的正整數，設a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，記∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，對任意滿足條件的函數f（x），求∫的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據β函數的定義，對集合D中的任意兩數x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，可以用作差法證明f（x）=x²是否是其定義域上的β函數；
（2）利用特殊值發進行判斷，只要有一個點不滿足即可；
（3）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]利用α-β函數的概念求得a_n=2n，從而轉化為等差數列的求和問題；

解答：（1）解：∵f(

1

4

x1+

3

4

x2)-[

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)]=(

1

4

x1+

3

4

x2)2-(

1

4

x12+

3

4

x22)=-

3

16

x12-

7

16

x22+

3

8

x1x2
=-

3

16

(x1-x2)2-

5

8

x22＜0
∴對定義域中的任意兩數x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，
∴f（x）=x²是其定義域上的β函數；
（2）證明：∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0
∴x₁=x₂=0時，f(

1

4

×0+

3

4

×0)=

1

4

f(0)+

3

4

f(0)
∴f（x）不是定義在R上的β函數．
（3）（Ⅱ） 對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函數，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么∫=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是α-β函數，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時∫=m²+m．
綜上所述，∫的最大值為m²+m．

點評：本題考查函數的概念與最值及數列的求和，難點在于通過對α-β函數的理解轉化為數列求和問題，屬于難題．