Question

（本小題共14分）
正方體的棱長為，是與的交點，是上一點，且．（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

（Ⅰ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．
則，，，，
∴，，．
，

又與交于點
，
∴平面．------------4分
（Ⅱ）設與所成的角為．
，，．
∴，
．
∴．
所求異面直線與所成角的余弦值為．---------------9分
（Ⅲ）設平面與直線所成的角為．
設平面的法向量為．
，，，，．

令，則
．
．
所求平面與直線所成角的正弦值為．--------------------14分