Question

【題目】已知數列{an},a1=2,a2=6,且滿足=2(n≥2且n∈N+)

(1)證明:新數列{an+1-an}是等差數列,并求出an的通項公式

(2)令bn=,設數列{bn}的前n項和為Sn,證明:S2n-Sn<5

Answer 1

【答案】(1)見解析.(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)由已知可得 ,則，即可證明是等差數列,進而求出 的通項公式；

試題解析：(1)證明:an+1+an-1=2an+2,則(an+1-an)-(an-an-1)=2.所以{an+1-an}是公差為2的等差數列.

n≥2,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2n+…+4+2=2·=n(n+1).

當n=1,a1=2滿足. 則an=n(n+1).

(2)bn=-=- ∴Sn=10(1++…+)-,

∴S2n=10(1++…++)-,

設Mn=S2n-Sn=10()-,

∴Mn+1=10()-,

∴Mn+1-Mn=10()-=10() -=-,

∴當n=1時, Mn+1-Mn=＞0,即M1＜M2，當n≥2時，Mn+1-Mn＜0，

即M2＞M3＞M4＞…，∴(Mn)max=M2=10×()-1=

則S2n-Sn≤S4-S2=