Question

已知a，b為常數(shù)，a?0，函數(shù)．

（1）若a=2，b=1，求在（0，∞）內的極值；

（2）①若a>0，b>0，求證：在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)；

②若，，且在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求由所有點形成的平面區(qū)域的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）①詳見解析，②

【解析】

試題分析：（1）求具體函數(shù)極值問題分三步，一是求導，二是求根，三是列表，關鍵在于正確求出導數(shù)，即；求根時需結合定義區(qū)間進行取舍，如根據(jù)定義區(qū)間舍去負根；列表時需注意導數(shù)在對應區(qū)間的符號變化規(guī)律，這樣才可得出正確結論，因為導數(shù)為零的點不一定為極值點，極值點附近導數(shù)值必須要變號，（2）①利用導數(shù)證明函數(shù)單調性，首先要正確轉化，如本題只需證到在區(qū)間[1，2]上成立即可，由得只需證到在區(qū)間[1，2]上，因為對稱軸在區(qū)間[1，2]上單調增，因此只需證，而這顯然成立，②中條件“在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)”與①不同，它是要求在區(qū)間[1，2]上恒成立，結合二次函數(shù)圖像可得關于不等關系，再考慮，，可得可行域.

試題解析：（1）解: 2分

當時, ,

令得或(舍去) 4分

當時, 是減函數(shù),

當時, 是增函數(shù)

所以當時, 取得極小值為 6分

（2）令

① 證明: 二次函數(shù)的圖象開口向上,

對稱軸且 8分

對一切恒成立.

又對一切恒成立.

函數(shù)圖象是不間斷的,

在區(qū)間上是增函數(shù). 10分

②解:

即

在區(qū)間上是增函數(shù)

對恒成立.

則對恒成立.

12分

在(*)(**)的條件下, 且

且恒成立.

綜上,點滿足的線性約束條件是 14分

由所有點形成的平面區(qū)域為 (如圖所示),

其中

則

即的面積為. 16分

考點：求函數(shù)極值，二次函數(shù)恒成立，線性規(guī)劃求面積.