Question

已知a，b為常數，a?0，函數．

（1）若a=2，b=1，求在（0，∞）內的極值；

（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；

②若，，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點形成的平面區域的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）①詳見解析，②

【解析】

試題分析：（1）求具體函數極值問題分三步，一是求導，二是求根，三是列表，關鍵在于正確求出導數，即；求根時需結合定義區間進行取舍，如根據定義區間舍去負根；列表時需注意導數在對應區間的符號變化規律，這樣才可得出正確結論，因為導數為零的點不一定為極值點，極值點附近導數值必須要變號，（2）①利用導數證明函數單調性，首先要正確轉化，如本題只需證到在區間[1，2]上成立即可，由得只需證到在區間[1，2]上，因為對稱軸在區間[1，2]上單調增，因此只需證，而這顯然成立，②中條件“在區間[1，2]上是增函數”與①不同，它是要求在區間[1，2]上恒成立，結合二次函數圖像可得關于不等關系，再考慮，，可得可行域.

試題解析：（1）解: 2分

當時, ,

令得或(舍去) 4分

當時, 是減函數,

當時,是增函數

所以當時,取得極小值為 6分

（2）令

①證明:二次函數的圖象開口向上,

對稱軸且 8分

對一切恒成立.

又對一切恒成立.

函數圖象是不間斷的,

在區間上是增函數. 10分

②解:

即

在區間上是增函數

對恒成立.

則對恒成立.

12分

在(*)(**)的條件下,且

且恒成立.

綜上,點滿足的線性約束條件是 14分

由所有點形成的平面區域為 (如圖所示),

其中

則

即的面積為. 16分

考點：求函數極值，二次函數恒成立，線性規劃求面積.