Question

（理科做）如圖，已知棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱AA₁上的一點，且A₁P：PA=m：n．
（I）在AB上找出一點Q，使C₁P⊥PQ；
（II）求當(dāng)C₁P⊥PQ時，線段AQ的長．

Answer 1

分析：（I）直接設(shè)出A₁P=x，AP=1-x，AQ=y；根據(jù)直角三角形求出RT△C₁PQ三邊長，結(jié)合勾股定理即可求出點Q所滿足的條件；
（II）直接由第一問的結(jié)論即可得到線段AQ的長．

解答：解：（I）設(shè)A₁P=x，AP=1-x，AQ=y．
∴

x

1-x

=

m

n

⇒x=

m

m+n

，AP=

n

m+n

∴C₁P=

A1C12+A1P2

=

( 2 )2+ x2

=

2+( m m+n )2

；
PQ=

AP 2+AQ2

=

( n m+n ) 2+y 2

；
C₁Q=

CC 12+CQ 2

=

CC 12+CB 2+BQ 2

=

12+12+(1-y) 2

；
因為C₁P⊥PQ，
∴C 1P2+PQ 2=C 1Q2⇒2+(

m

m+n

)2+(

n

m+n

) 2+y²=2+（1-y）²⇒y=

mn

(m+n) 2

；
∴當(dāng)AQ=

mn

(m+n) 2

時C₁P⊥PQ；
（II）由第一問得：AQ=

mn

(m+n) 2

．

點評：本題是中檔題，考查直角三角形的利用以及長方體的性質(zhì)，考查計算能力．解決本題的關(guān)鍵在于利用勾股定理求出AQ的長．