Question

（理科做）如圖所示已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a＞0），PA⊥平面ABCD且PA=1．建立適當的空間坐標系，利用空間向量求解下列問題：
（1）求點P、B、D的坐標；
（2）當實數a在什么范圍內取值時，BC邊上存在點Q，使得PQ⊥QD；
（3）當BC邊上有且僅有一個Q點，使得時PQ⊥QD，求二面角Q-PD-A的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空間直角坐標系，因為題目中有矩形ABCD，以及和這個矩形面垂直的直線，所以x，y，z軸很容易找到，再在所建坐標系中求出點P、B、D的坐標即可．
（2）要想使得PQ⊥QD，則只需

PQ

•

DQ

=0，可先求向量

PQ

，

DQ

的坐標，再計算

PQ

•

DQ

，看結果是否為0即可．
（3）要求二面角Q-PD-A的余弦值，只需求兩個平面的法向量的夾角的余弦值即可，可先分別求兩個平面的法向量，再利用向量夾角公式求余弦值．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD且ABCD為矩形，∴分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz
∵AP=AB=1，BC=2∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）
（2）設Q（1，y，0），則

PQ

=(1，y，-1)

DQ

=(1，y-a，0)∵PQ⊥QD∴

PQ

•

DQ

=0∴1+y（y-a）+0=0即y²-ay+1=0    （*）
∵Q在邊BC上，
∴a＞0且△=a²-4≥0
∴a≥2，即a的取值范圍是[2，+∞）
（3）當BC邊上有且僅有一個Q點，方程（*）有等根，
∴y=1，此時a=2
顯然平面PAD的一個法向量為

m

=（1，0，0）
設平面PQD的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n

•

DQ

=0且

n

•

PQ

=0
由（2）知

PQ

=(1，1，-1)，

DQ

=(1，-1，0)∴

x+y-z=0 x-y=0

，
不妨取x=1，則y=1，z=2，
∴

n

=（1，1，2）
由圖可知，二面角Q-PD-A為銳角，設為α
cosα=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

6

=

6

6

，即二面角Q-PD-A即的余弦值為

6

6

點評：本題考查了利用空間向量解決立體幾何問題，屬于空間向量的應用．