Question

已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）若k=2，求以M（2，f（2））為切點的曲線的切線方程；
（2）若函數f（x）≤0恒成立，確定實數K的取值范圍；
（3）證明：

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜

(n-1)2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用導數研究函數在x=2處的導數，得到切線的斜率，然后根據點斜式可得切線方程；
（2）利用導數研究函數的單調性，求出函數的最大值，使最大值小于等于0，可求出k的取值范圍；
（3）由（2）知ln（x-1）＜x-2，則

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

，取x=3，4，5…n，n+1累加可得結論．

解答：解：（1）k=2，f（x）=ln（x-1）-2x+3
f′(x)=

1

x-1

-2，則f′（2）=-1
∴k=-1，切線方程為x+y-1=0；
（2）f′(x)=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

當k≤0時，f′（x）＞0函數f（x）在定義域內單調遞增，f（x）≤0不恒成立，
當k＞0時，函數f（x）在(1，1+

1

k

)單調遞增，在(1+

1

k

，+∞)單調遞減，
當x=1+

1

k

時，f（x）取最大值，f(1+

1

k

)=ln

1

k

≤0∴k≥1
（3）由（2）知k=1時，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴

ln(x-1)

x

＜1-

2

x

取x=3，4，5…n，n+1累加得

ln2

3

+

ln3

4

+

ln4

5

+…+

lnn

n+1

＜n-1-(

2

3

+

2

4

+

2

5

+…+

2

n+1

)＜n-1-

2(n-1)

n+1

=

(n-1)2

n+1

．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題，同時考查了轉化的思想和計算的能力，屬于中檔題．