Question

【題目】已知橢圓： （）的右焦點在直線： 上，且橢圓上任意兩個關于原點對稱的點與橢圓上任意一點的連線的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線經過點，且與橢圓有兩個交點， ，是否存在直線： （其中）使得， 到的距離， 滿足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 時符合題意.

【解析】試題分析：

(1)由題意結合點差法計算可得， ，則橢圓的方程為.

(2)分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況可得：存在符合題意.

試題解析：

（1）設橢圓焦距為（），右焦點 為，

∵直線與軸的交點坐標為∴.

設橢圓上任意一點和關于原點對稱的兩點， ，

則有， ∴

又∵即∴

又，∴， .

∴橢圓的方程為.

（2）存在符合題意，理由如下：

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設， 聯立，得

恒成立

，

不妨設，

∴

∴，整理得，即滿足條件

當直線的斜率不存在時，顯然滿足條件

綜上， 時符合題意.