Question

如圖所示，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點P是AD₁上的動點．
（1）當P為AD₁的中點時，求異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值；
（2）求PB₁與平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值．

Answer 1

分析：（1）解法一：過點P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連接B₁E，則PE∥AA₁，可得∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角，在Rt△B₁PE中，利用余弦函數可求異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值；
解法二：以A₁為原點，A₁B₁所在的直線為x軸建立空間直角坐標系，利用坐標表示點與向量，利用向量的夾角公式，即可求得結論；
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，故∠B₁PA₁是PB₁與平面AA₁D₁所成的角且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，當A₁P最小時，tan∠B₁PA₁最大，由此可得結論．

解答：（1）解法一：過點P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連接B₁E（如圖），則PE∥AA₁，
∴∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角．
在Rt△AA₁D中，∵∠AD₁A₁=60°，∴∠A₁AD₁=30°，

∴A₁B₁=A₁D₁=

1

2

AD₁=2，A₁E=

1

2

A₁D₁=1．
又PE=

1

2

AA₁=

3

．
∴在Rt△B₁PE中，B₁P=

5+3

=2

2

，
cos∠B₁PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為

6

4

．
解法二：以A₁為原點，A₁B₁所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖所示，則A₁（0，0，0），A（0，0，2

3

），B₁（2，0，0），P（0，1，

3

），∴

A1A

=（0，0，2

3

），

B1P

=（-2，1，

3

），
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A || B1P |

=

6

4

∴異面直線AA₁與B₁P所成角的余弦值為

6

4

．
（2）由（1）知，B₁A₁⊥平面AA₁D₁，
∴∠B₁PA₁是PB₁與平面AA₁D₁所成的角且tan∠B₁PA₁=

B1A1

A1P

=

2

A1P

，
當A₁P最小時，tan∠B₁PA₁最大，這時A₁P⊥AD₁，由A₁P=

A1D1•A1A

AD1

=

3

，得tan∠B₁PA₁=

2 3

3

，
即PB₁與平面AA₁D₁所成角的正切值的最大值為

2 3

3

．

點評：本題考查線線角，考查線面角，解題的關鍵是正確作出線線角與線面角，屬于中檔題．