Question

已知橢圓：經過點，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將兩點坐標代入橢圓方程組成方程組，即可求的值。（Ⅱ）由橢圓方程可知。可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設直線方程為。與橢圓聯立方程，消去整理可得關于的一元二次方程，因為有兩個交點即方程有兩根，所以判別式應大于0。然后用韋達定理得根與系數的關系。求面積時可先求截得的弦長，再求點到直線的距離，從而可求面積（此種方法計算量過大）。另一方法求面積：可用轉化思想將分解成兩個小三角形，即。因為，可轉化為二次函數求最值問題。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由題意，橢圓的方程為. 1分

將點代入橢圓方程，得，解得.

所以 橢圓的方程為. 3分

（Ⅱ）由題意可設直線的方程為：.

由得.

顯然 .

設，，則 7分

因為 的面積，其中.

所以 .

又，

. 9分

.

當時，上式中等號成立.

即當時，的面積取到最大值. 11分

考點：1橢圓方程；2直線與橢圓的位置關系；3三角形面積；4最值問題。