Question

閱讀與理解：
給出公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；我們可以根據公式將函數g（x）=sinx+

3

cosx化為：g（x）=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）=2sin（x+

π

3

）
（1）根據你的理解將函數f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）化為f（x）=Asin（ωx+φ）的形式．
（2）求出上題函數f（x）的最小正周期、對稱中心及單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為

3

sin（x+

π

6

）．
（2）由（1）可得函數的最小正周期 T=2π．令x+

π

6

=kπ，k∈z，求得 x=kπ-

π

6

，可得函數的中心．令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得遞增區間．

解答：解：（1）函數f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

2

sinx+

3

2

cosx
=

3

（

3

2

sinx+

1

2

cosx）=

3

sin（x+

π

6

）．
（2）由（1）可得函數的最小正周期 T=2π，
令x+

π

6

=kπ，k∈z，求得 x=kπ-

π

6

，
故函數的中心為 （kπ-

π

6

，0），k∈z．
令 2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
故遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性、單調性、對稱性和求法，屬于中檔題．