Question

設點P是圓x²＋y²＝4上任意一點，由點P向x軸作垂線PP₀，垂足為P₀，且＝.
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)設直線l：y＝kx＋m(m≠0)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點A，B.
若直線OA，AB，OB的斜率成等比數列，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）＝1（2）(－，0)∪(0，)

(1)設點M(x，y)，P(x₀，y₀)，則由題意知P₀(x_0,0)．
由＝(x₀－x，－y)，＝(0，－y₀)，且＝，得
(x₀－x，－y)＝ (0，－y₀)．
∴于是 
又＋＝4，∴x²＋y²＝4.∴點M的軌跡C的方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．聯立
得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0.
∴Δ＝(8mk)²－16(3＋4k²)(m²－3)＞0，
即3＋4k²－m²＞0.(*)且
依題意，k²＝，即k²＝.
∴x₁x₂k²＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m².
∴km(x₁＋x₂)＋m²＝0，即km＋m²＝0.
∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k²＝.
將k²＝代入(*)，得m²＜6.∴m的取值范圍是(－，0)∪(0，)．