Question

設(shè)

a

=(cos(θ-

π

6

) ，sin(θ-

π

6

)) ，

b

=(2cos(θ+

π

6

)，2sin(θ+

π

6

))．
（1）若向量(2t

b

+7

a

)與向量(

b

+t

a

)的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t在區(qū)間（0，1]上變化時(shí)，求向量2t

b

+

m

t

a

(m為常數(shù)，且m＞0）的模的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知可求|

a

|，|

b

|，

a

•

b

，由夾角為銳角，代入(2t

b

+7

a

)•(

b

+t

a

)=2t|

b

2|+2t2

a

•

b

+7

a

•

b

+7t|

a

|2＞0，解不等式可求t的范圍，舍去2t

b

+7

a

=λ(

b

+t

a

)中t即可
（2）由(2b

t

+

m

t

a

)2=4t2|

b

|2+4m

a

•

b

+

m2

t2

|

a

|2=16t2+

m2

t2

+4m，結(jié)合y=16t2+

m2

t2

+4m，t∈（0，1]的單調(diào)性可求y的最小值

解答：解：（1）由題設(shè)易得|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=2cos[(θ-

π

6

)-(θ+

π

6

)]=2cos(-

1

3

π)=1 
∴(2t

b

+7

a

)•(

b

+t

a

)=2t|

b

|2=2t|

b

 |²+2t

a

•

b

+7

a

•

b

+7t|

a

|  2＞0
整理可得，2t²+15t+7＞0
∴t＞-

1

2

 或 t＜-7
又當(dāng)2t

b

+7

a

與b+t

a

共線時(shí)，不滿足題意．
令2t

b

+7

a

=λ(

b

+t

a

)
則

2t=λ 7=tλ

∴t=±

14

2

∴t＞-

1

2

 或 t＜-7，且t≠±

14

2

         （6分）
（2）∵(2b

t

+

m

t

a

)2=4t2|

b

|2+4m

a

•

b

+

m2

t2

|

a

|2
=16t2+

m2

t2

+4m
令y=16t2+

m2

t2

+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+

m2

t2

+4m≥8m+4m=12m
當(dāng)且僅當(dāng)t=

m

2

于是①當(dāng)

m

2

∈(0，1] 即 0＜m≤4時(shí)
當(dāng)且僅當(dāng)t=

m

2

時(shí)，y_min=12m．從而|2t

b

+

m

t

a

|=2

3m

②當(dāng)

m

2

＞1 即m＞4時(shí)
可證 y=16t2+

m2

t2

+4m在（0，1]為減函數(shù)
從而當(dāng)t=1時(shí)，y_min=m²+4m+16
∴|2t

b

+

m

t

a

| min=

m2+4m+16

                （6分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意：向量

a

，

b

的夾角θ為銳角時(shí)，并不等價(jià)于

a

•

b

＞0，一定要把向量同向的情況去掉，及函數(shù)的單調(diào)性在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用．