Question

【題目】已知函數f（x）x2﹣（6+a）x+2alnx（a∈R）．

（1）討論f（x）的單調性；

（2）函數g（x）x2+（2a﹣4）lnx﹣1，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當a＞6時，f（x）在（，+∞），（0，2）上單調遞增，在（2，）上單調遞減．

當a＝6時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

當0＜a＜6時，f（x）在（2，+∞），（0，）上單調遞增，f（x）在（，2）上單調遞減．

當a≤0時，f（x）在（2，+∞）上單調遞增．

(2) （﹣5，+∞）．

【解析】

（1）首先對f（x）求導數，令，再討論當、a＝6、、四種情況對應的單調性。

（2）首先由f（x）＜g（x），化簡得4lnx+1＜（6+a）x，因為x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），對 h（x）求導判斷其單調性即可。求出最小值即可。

（1）f′（x）＝3x﹣（6+a）（x＞0），

令f′（x）＝0，得x1，x2＝2，

①當及a＞6時，

若x∈（，+∞）∪（0，2），f′（x）＞0，故f（x）在（，+∞），（0，2）上單調遞增，

若x∈（2，），f′（x）＜0，故f（x）在（2，）上單調遞減．

②當a＝6時，f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，

故f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

③當02，即0＜a＜6時，

若x∈（2，+∞）∪（0，），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞），（0，）上單調遞增

若x∈（，2），f′（x）＜0，故f（x）在（，2）上單調遞減．

④當，即a≤0時，

若x∈（2，+∞），f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上單調遞增，

若x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）在（0，2）單調遞減．

綜上所述：當a＞6時，f（x）在（，+∞），（0，2）上單調遞增，在（2，）上單調遞減．

當a＝6時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

當0＜a＜6時，f（x）在（2，+∞），（0，）上單調遞增，f（x）在（，2）上單調遞減．

當a≤0時，f（x）在（2，+∞）上單調遞增．

（2）當x∈[1，e]，由f（x）＜g（x），化簡得4lnx+1＜（6+a）x，

因為x∈[1，e]，所以a＞[]min，

令h（x），，

令h′（x）＝0，得x＝e，

當x∈[1，e）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增．

當x∈（e，e]時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減．

所以h（x）min＝{h（1），h（e）}，

h（1）＝﹣5＜h（e），

所以a＞﹣5，

故a的取值范圍是（﹣5，+∞）．