Question

（2013•汕頭一模）已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，右頂點為A，離心率e=

1

2

（1）設拋物線C₂：y²=4x的準線與x軸交于F₁，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C₃以橢圓C₁的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C₃在第一象限上任意-點，問是否存在常數λ（λ＞0），使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線準線方程可得橢圓左焦點，從而得c值，再由離心率得a，由b=

a2-c2

得b；
（2）可先通過垂直情況求出λ=2，然后作出一般證明．證明如下：設橢圓的半焦距為c，由離心率及雙曲線與橢圓的關系可得雙曲線C₃的方程為

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0），設B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），①當AB⊥x軸時，易求∠BAF1=

π

2

，利用斜率公式可得tan∠BF₁A，從而求得∠BF1A=

π

4

，得證；②當AB不與x軸垂直時，即x₀≠2c時，利用斜率公式表示出tan∠BF₁A及tan∠BAF₁，根據倍角公式可求證tan2∠BF₁A=tan∠BAF₁，再由∠BAF₁與2∠BF₁A的范圍即可證得∠BAF₁=2∠BF₁A，綜合①②可得結論；

解答：解：（1）因為拋物線C₂的準線方程為x=-1，
所以橢圓C₁的左焦點F₁的坐標為F₁（-1，0），所以橢圓的半焦距c=1，
又橢圓的離心率e=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）存在常數λ=2，使∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立，
證明如下：設橢圓的半焦距為c，
因為e=

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，
所以雙曲線C₃的方程為

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0），
設B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），則

x02

c2

-

y02

3c2

=1，
①當AB⊥x軸時，x₀=2c，y₀=3c，則tan∠BF₁A=

y0

x0+c

=

3c

3c

=1，
又∠BF₁A∈(0，

π

2

)，所以∠BF1A=

π

4

，
所以∠BAF1=

π

2

=2∠BF₁A；
②當AB不與x軸垂直時，即x₀≠2c時，
因為tan∠BAF₁=

y0

2c-x0

=

-y0

x0-2c

，tan∠BF₁A=

y0

x0+c

，
所以tan2∠BF₁A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

，
又因為y02=3c2(

x02

c2

-1)=3(x02-c2)，
所以tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(x02-c2)

=

-y0

x0-2c

=tan∠BAF₁，
又∠BAF₁與2∠BF₁A同在（0，

π

2

）或（

π

2

，π）內，
所以∠BAF₁=2∠BF₁A．
綜上可知存在λ=2，使得∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、圓錐曲線的方程，考查直線的斜率公式，考查分類討論思想，考查學生對問題的分析解決能力，先用特殊情況探求λ值，再作出一般證明是解決（2）問的關鍵．