Question

已知函數，其中是常數且.
（1）當時，在區間上單調遞增，求的取值范圍；
（2）當時，討論的單調性；
（3）設是正整數，證明：.

Answer 1

（1） ；（2）當時， 的減區間為，增區間為；當時， 的減區間為，增區間為；（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用導數法，然后才有分離參數的思路進行求解； （2）明確函數的解析式，利用求導法和分類討論進行求解；（3）用代替中的得到，再證明不等式成立.
試題解析：（1）∵，則，∴，
∵當時，是增函數，∴在時恒成立.     （2分）
即在時恒成立. ∵當時，是減函數，
∴當時，，∴.         （4分）
（2）∵，∴，
∴，                 （5分）
∴當時，由得或，故的減區間為，增區間為.
當時，由得或，故的減區間為，增區間為.                                   （9分）
（3）由（1）知，當，時，在時增函數，
∴，即，∴，
∵，∴，∴，
即，            （12分）
∴

∴.        （14分）