Question

已知為函數圖象上一點，O為坐標原點，記直線的斜率．
（1）若函數在區間上存在極值，求實數m的取值范圍；
（2）當 時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）在函數定義域范圍內求函數的極值，則極值點在內；（2）首先根據條件分離出變量，由轉化成求的最小值（利用二次求導判單調性）；（3）結合第（2）問構造出含
的不等關系，利用裂項相消法進行化簡求和.
試題解析：（1）由題意，              1分
所以                   2分
當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值．                      3分
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以，得．即實數的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因為所以,故在上單調遞增．        7分
所以,從而
在上單調遞增,
所以實數的取值范圍是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令則，        12分
所以， ，  ,．
將以上個式子相加得：
，
故．               14分