Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)求導(dǎo)，可得的單調(diào)區(qū)間；（2）首先，要保證由意義，可得；由題意得，不等式對(duì)于任意的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，，求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)，分情況討論當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，要使時(shí)，不等式成立，需，即，此時(shí)要證，繼續(xù)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可證得在上單調(diào)遞增，． 即，問(wèn)題解決.

試題解析：（1）當(dāng).

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2) 由題意得，時(shí)，恒成立，可得.……①

由題意得，不等式對(duì)于任意的恒成立.

設(shè)，..

當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，要使時(shí)，不等式成立，

須，即；

當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，．

顯然在上單調(diào)遞增，所以．

所以在上單調(diào)遞增，．

即. ……②

由①②可知時(shí)，滿(mǎn)足題意．