Question

【題目】已知函數(shù)f（x）對于x，y∈R．
（1）若f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，當x＞0時，f（x）＞1且f（3）=4，
①求f（x）的單調性；
②f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．
（2）若f（x）+f（y）=2f（）f（），f（0）≠0，且存在非零常數(shù)c，使f（c）=0．
①判斷f（x）的奇偶性并證明；
②求證f（x）為周期函數(shù)并求出f（x）的一個周期．

Answer 1

【答案】證明：（1）①任取x1 ， x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2 ，
則x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1，
則f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1=f（x1），
故f（x）為R上的增函數(shù)；
②∵f（x）為R上的增函數(shù)，
∴f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為f（2），最小值為f（1），
∵f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，
∴f（2）=f（1）+f（1）﹣1=2f（1）﹣1，
f（3）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+2（1）﹣1﹣1=3f（1）﹣2=4，
即3f（1）=6，則f（1）=2，
f（2）=2f（1）﹣1=2×2﹣1=4﹣1=3，
即函數(shù)在[1，2]上的最大值為f（2）=3，最小值為f（1）=2．
（2）①∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
令y=﹣x，可得f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x），
有f（﹣x）=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)、
②∵f（2c+x）+f（x）=，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（2c+x）=﹣[﹣f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期為4c．
【解析】（1）①根據(jù)函數(shù)單調性的定義，結合抽象函數(shù)的關系進行證明．②利用函數(shù)的單調性的定義和最值之間的關系進行求解即可．
（2）①令x=0，y=0，并代入有 ， 即可求出f（0）的值；令y=﹣x，代入求得f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x），即可證得結果；
②根據(jù)存在非零常數(shù)c，使f（c）=0及周期函數(shù)的定義得到f（2c+x）+f（x）==0，再驗證f（4c+x）=f（x）即可證明結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．