Question

（2012•虹口區三模）函數y=2^x和y=x³的圖象的示意圖如圖所示，設兩函數的圖象交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（1）設曲線C₁，C₂分別對應函數y=f（x）和y=g（x），請指出圖中曲線C₁，C₂對應的函數解析式．若不等式kf[g（x）]-g（x）＜0對任意x∈（0，1）恒成立，求k的取值范圍；
（2）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）由題意，C₁對應的函數為f（x）=x³，C₂對應的函數為g（x）=2^x ，不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等價于k•2^3x＜2^x，利用分離參數法，可求k的取值范圍；
（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數φ（x）的零點，根據零點存在定理，可得兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），由此可得a，b的值．

解答：解：（1）由題意，C₁對應的函數為f（x）=x³，C₂對應的函數為g（x）=2^x
不等式kf[g（x）]-g（x）＜0，等價于k•2^3x＜2^x，則k＜4^-x對任意x∈（0，1）恒成立（4分）
∵4-x∈(

1

4

，1)，∴k≤

1

4

（2）令φ（x）=g（x）-f（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數φ（x）的零點，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
則方程φ（x）=f（x）-g（x）的兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整數a=1，b=9．

點評：本題考查函數的圖象與解析式，考查函數的零點，正確運用零點存在定理是關鍵．