Question

【題目】已知函數，其中為大于零的常數．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）求函數在區間上的最小值；

（3）求證：對于任意的時，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）的增區間為，減區間為；

（2）①當時，，②當時，，③當時，；

（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數，在函數的定義域內解不等式和；（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最小值；（3）由（1）知函數在上為增函數，構造與的遞推關系，可利用疊加法求出所需結論．

試題解析：（1）當時，，由；由，

∴的增區間為，減區間為．

（2）由，

當時，在上恒成立，這是上為增函數，；

當在上恒成立，遞減，，

當時，令，得，由；

所以在上遞減，在上遞增，有，

綜上，在上的最小值為：①當時，；

②當時，；③當時，；

（3）由（1）知函數在為遞增函數，

所以當時，有對恒成立，

所以

，所以，對時，都有成立．