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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知非零向量
a
b
滿足
a
+3
b
與7
a
-5
b
互相垂直,
a
-4
b
與7
a
-2
b
互相垂直,則
a
b
的夾角為
π
3
π
3
分析:由題意可得
7
a
2
+16
a
b
-15
b
2
=0     ①
7
a
2
-30
a
b
+8
b
2
=0        ②
,聯立可解得
b
2
=2
a
b
|
a
|=|
b
|
,代入向量的夾角公式可得其余弦值,由夾角的范圍可得.
解答:解:設
a
b
的夾角為θ,θ∈[0,π]
由題意可得
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
b
)=0

7
a
2
+16
a
b
-15
b
2
=0     ①
7
a
2
-30
a
b
+8
b
2
=0        ②

②-①可得23
b
2
-46
a
b
=0
,即
b
2
=2
a
b

再代入①可得
a
2
=
b
2
,即|
a
|=|
b
|

∴cosθ=
a
b
|
a
||
b
|
=
1
2
,又θ∈[0,π]
∴θ=
π
3

故答案為:
π
3
點評:本題考查向量的夾角與向量的數量積的關系,屬中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知非零向量
e1
e2
a
b
滿足
a
=2
e1
-
e2
b
=k
e1
+
e2

(1)若
e1
e2
不共線,
a
b
是共線,求實數k的值;
(2)是否存在實數k,使得
a
b
不共線,
e1
e2
是共線?若存在,求出k的值,否則說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知非零向量
AB
AC
滿足(
AB
|
AB|
+
AC
|
AC|
)•
BC
=0,且
AB
|
AB|
AC
|
AC|
=-
1
2
,則△ABC為(  )
A、等腰非等邊三角形
B、等邊三角形
C、三邊均不相等的三角形
D、直角三角形

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知非零向量
AB
AC
滿足(
AB
|
AB
|
+
AC
|
AC
|
).
BC
=0
AB
|
AB
|
AC
|
AC
|
=
1
2
. 則△ABC為(  )

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科目:高中數學 來源:2010-2011學年四川省成都市高三第一次模擬文科數學卷 題型:填空題

已知非零向量滿足:=++g(,,gR),B、C、D為不共線三點,給出下列命題:

①若=,=,g,則A、B、C、D四點在同一平面上;

②若==g,|+||+||=1,<,>=<,>=,<,>=,則||=2;

③已知正項等差數列{an}(n,若a2,=a2009,g,且A、B、C三點共線,但O點不在直線BC上,則的最小值為10;

④若=,=,g,則A、B、C三點共線且A分所成的比一定為4

 

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科目:高中數學 來源:2011年四川省成都市高考數學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知非零向量滿足:Z+βZ+γZ(α,β,γ∈R),B、C、D為不共線三點,給出下列命題:
①若α=,β=,γ=-1,則A、B、C、D四點在同一平面上;
②若α=β=γ=1,|Z|+||+||=1,<>=<>=,<>=,則||=2;
③已知正項等差數列{an}(n∈N*Z),若α=a2,β=a2009,γ=0,且A、B、C三點共線,但O點不在直線BC上,則的最小值為10;
④若α=,β=-Z,γ=0,則A、B、C三點共線且A分所成的比λ一定為-4
其中你認為正確的所有命題的序號是   

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