Question

已知非零向量

e1

，

e2

，

a

，

b

滿足

a

=2

e1

-

e2

，

b

=k

e1

+

e2

．
（1）若

e1

與

e2

不共線，

a

與

b

是共線，求實數k的值；
（2）是否存在實數k，使得

a

與

b

不共線，

e1

與

e2

是共線？若存在，求出k的值，否則說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的充要條件列出方程據平面向量的基本定理求出k．
（2）利用向量共線設出等式，將

e1

，

e2

用不共線的基底

a

，

b

表示，得到矛盾．

解答：解：（1）由

a

=λ

b

，得2

e1

-

e2

=λk

e1

+λ

e2

，而

e1

與

e2

不共線，
∴

λk=2 λ=-1

?k=-2；
（2）若

e1

與

e2

是共線，則

e2

=λ

e1

，有

a =(2-λ)  e1 b =(k+λ)  e1

∵

e1

，

e2

，

a

，

b

為非零向量，∴λ≠2且λ≠-k，
∴

1

2-λ

a

=

1

k+λ

b

，即

a

=

2-λ

k+λ

b

，這時a與b共線，
∴不存在實數k滿足題意．

點評：本題考查向量共線的充要條件、平面向量的基本定理．