Question

【題目】已知圓過點，，且圓心在直線上，過點作直線與圓：交于兩點，.

（1）求圓的方程；

（2）當時，若于圓交于，且，求直線的方程；

（3）若點恰好是線段的中點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）設圓的方程為：，代入已知條件求得即可；

（2）驗證直線斜率不存在時，滿足題意，直線斜率存在時，設其方程為，由求出兩圓心到直線的距離，由勾股定理求得兩弦長，由求得．

（3）記中點為，則，設，，則，，由勾股定理得的關系，消去后可把表示為的函數，由可得的范圍．

（1）設圓的方程為：，

則解得.

圓的方程為.

（2）當直線斜率不存在時，直線方程為，

，，符合題意；

直線斜率存在時，設直線的方程為，即，

此時，到直線的距離為，到直線的距離為，

，.

若，則，解得.

直線的方程為.

綜上，直線的方程為或.

（3）設是中點，則，設，，則，，

，

又，，

或.