Question

已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

（1） （2）

試題分析：解：（1），設(shè)過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦為，將代入橢圓方程，解得，  2分
故，可得．  4分
所以，橢圓方程為．  6分
（2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則．  8分
設(shè)，，聯(lián)立方程組，
消去得：，
，，                             
則．  11分
設(shè)與橢圓交另一點(diǎn)為，，聯(lián)立方程組，
消去得，，
所以．  13分
故．
所以等于定值．  15分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力