Question

【題目】動圓與圓相外切且與軸相切，則動圓的圓心的軌跡記，

（1）求軌跡的方程；

（2）定點到軌跡（1）上任意一點的距離的最小值;

（3）經過定點的直線，試分析直線與軌跡的公共點個數，并指明相應的直線的斜率是否存在，若存在求的取值或取值范圍情況.

Answer 1

【答案】（1）當時，；當時，；（2）時，的最小值為；（3）見解析.

【解析】

（1）設出動圓圓心的坐標，利用動圓與軸相切且與圓外切建立方程，化簡得答案；（2）設的坐標，利用兩點間的距離公式結合配方法求得定點到軌跡上任意一點的距離的最小值；（3）寫出過斜率存在的直線方程，聯立直線方程與拋物線方程，由判別式等于0求得值，再結合圖形求得直線與軌跡的公共點個數，并分析對應的斜率情況．

（1）設動圓圓心的坐標為，則

，

當時，；當時，；

（2）如圖，由圖可知，到軌跡上的點與的距離最小，則在拋物線上，

設，則．

當，即時，的最小值為；

（3）設過與拋物線相切的直線方程為，即，

聯立，得．

由△，解得：或．

又,

當直線的斜率不存在時或斜率存在為0時或直線的斜率，，時，與有1個交點；

當直線的斜率為或或，時，與有2個交點；

當直線的斜率，，時，與有3個交點．