Question

已知為直角梯形，,平面，
(1)求證：平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

(1)詳見解析；(2)銳二面角的余弦值為.

解析試題分析：(1)證明法一可建立空間直角坐標(biāo)系利用平面PAB的法向量即可
證明法二：要證平面只要證BC⊥PA，而BC⊥PA由已知易得；
(2)先求平面PCD的法向量，再利用向量求二面角的公式即可
試題解析：
解：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

可得。2分
(1)證明法一：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/f/3dmgh2.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以,4分
所以,,平面，平面，
所以平面.6分
證明法二：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/67/2/llgbm1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以,又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1d/0/retby.png" style="vertical-align:middle;" />=90°，即，,平面，平面，
所以平面.6分
(2)由(1)知平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量，
又,
且
所以
所以平面的一個(gè)法向量為
所以
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.12分
考點(diǎn)：1.線面垂直的證明；2.向量證明垂直問題；3.向量求二面角問題.