Question

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，且側面平面，點是棱的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）若，求證：平面平面.

Answer 1

詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由底面是菱形，可得再根據線面平行的性質定理可直接證得平面。（Ⅱ）由面面垂直的性質定理可證得平面，即可證得。（Ⅲ）當時為正三角形，可得，可根據面面的性質定理證得，再根據面面垂直的判定定理可證得面平面。法二時，因為（Ⅱ）中已證，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而證得面平面
試題解析：解：（Ⅰ）因為底面是菱形，
所以.             1分
又因為平面，        3分
所以平面.           4分
（Ⅱ）因為，點是棱的中點，

所以.                                          5分
因為平面平面,平面平面,平面,       7分
所以平面,                                   8分
因為平面,
所以.                                        9分
（Ⅲ）因為，點是棱的中點，
所以.                                          10分
由（Ⅱ）可得，                               11分
所以平面，                                   13分
又因為平面,
所以平面平面.                               14分