Question

已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x²+y²=1上,求m的值.

Answer 1

(1);(2)

解析試題分析：（1）根據橢圓的基本性質列三個關于a,b,c的方程即可求出a,b。從而求出橢圓方程。（2）聯立方程組消去y得到3x²+4mx+2m²-8=0，因為有兩個交點，所以判別式大于0，解出m的范圍，再由韋達定理得到兩根之和，兩根之積。根據中點坐標公式求出中點坐標，在將其代入圓的方程即可求出m.
試題解析： (1) 由題意,得 解得∴橢圓C的方程為 
(2) 設點A、B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂, y₂),線段AB的中點為M(x₀,y₀),
由消y得,3x²+4mx+2m²-8=0,
Δ=96-8m²>0,∴-2<m<2.
∴
∵點M(x₀,y₀)在圓x²+y²=1上,] 所以，所以
考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關系