Question

【題目】如圖，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點，與圓的另一交點為，求面積的最大值，并求取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積的最大值為，此時直線的方程為.

【解析】

（1）由題意可得b＝1，a﹣1，即可得到橢圓的方程；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），根據l2⊥l1，可設直線l1，l2的方程，分別與橢圓、圓的方程聯立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面積，利用基本不等式的性質即可得出其最大值．

（1）橢圓E與圓O：x2+y2＝1相切，知b2＝1；

又橢圓E上動點與圓O上動點間距離最大值為，即橢圓中心O到橢圓最遠距離為，

得橢圓長半軸長，即；

所以橢圓E的方程：

（2）①當l1與x軸重合時，l2與圓相切，不合題意．

②當l1⊥x軸時，M（﹣1，0），l1：x＝1，，此時．…（6分）

③當l1的斜率存在且不為0時，設l1：x＝my+1，m≠0，則，

設A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（2m2+3）y2+4my﹣1＝0，

所以，

所以．

由得，，解得，

所以，

所以

， 因為，

所以，

當且僅當時取等號．所以（）

綜上，△ABM面積的最大值為，此時直線l1的方程為．