Question

已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)(2)AB為直徑的圓恒過這個定點(0,1).

試題分析：(1)求出拋物線的焦點得到橢圓的兩個焦點(即C值),求其中一個焦點關(guān)于直線的對稱點，再利用點點之間直線距離最短求出直線y＝上到焦點F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點P的坐標(biāo)（即為對稱點與另一個焦點連線與直線y＝的交點）,即得橢圓上一點的坐標(biāo),便可求出a,b,c得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)直線的斜率為k,通過聯(lián)立方程式,韋達(dá)定理等用斜率k來建立圓的方程,進(jìn)而判斷關(guān)于參數(shù)k的圓是否經(jīng)過定點(即是否有相應(yīng)點的坐標(biāo)使得參數(shù)k的系數(shù)為0即可)
試題解析：
（1）由拋物線的焦點可得：，點關(guān)于直線的對稱點為
故，因此，橢圓方程為
（2）假設(shè)存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。
當(dāng)AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為：  ①
當(dāng)AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ②
由①②知定點M。下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。設(shè)直線，代入，有。設(shè)，則。
則，

在y軸上存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點.