Question

已知a＞0，f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），l是曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）若切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，求a的值；
（Ⅲ）證明對任意的a=n（n∈N^*），函數y=f（x）總有單調遞減區間，并求出f（x）單調遞減區間的長度的取值范圍．（區間[x₁，x₂]的長度=x₂-x₁）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點P（0，f（0））為切點，求出f（0）=1，則P（0，1），再利用導數的幾何意義可得切線的斜率k=f′（0），利用點斜式求出切線方程，化簡即可得到答案；
（Ⅱ）將切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點，轉化為ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一個實數解，令h（x）=ax²-x+ln（x+1），研究h（x）=0的解的個數問題，求出h′（x）=0的根，對a進行分類討論，當a=

1

2

時，h（x）=0只有一個解，符合題意，當0＜a＜

1

2

時，利用函數的單調性和極值，確定方程h（x）=0有兩個根，不符合題意，當a＞

1

2

時，利用函數的單調性和極值，確定方程h（x）=0有兩個根，不符合題意，綜合上述，確定a的值；
（Ⅲ）求出f′(x)=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，令k（x）=2ax²+（2a-2）x-1，根據x+1＞0，則將f′（x）＜0等價于k（x）=2ax²+（2a-2）x-1＜0，利用二次函數的性質，可知方程k（x）=0有兩個不同的根x₁，x₂，其中-1＜x₁＜x₂，確定f（x）的減區間為[x₁，x₂]，所以化簡區間長度為x₂-x₁=

1+ 1 a2

，根據a=n代入即可得x₂-x₁=

1+ 1 n2

，利用單調性確定x₂-x₁的取值范圍，從而得到f（x）單調遞減區間的長度的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），且點P（0，f（0））為切點，
∴f（0）=1，
又f′(x)=2ax-2+

1

x+1

=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，
∴切線的斜率k=f′（0）=-1，又切點P（0，1），
∴由點斜式可得，y-1=-1×（x-0），即x+y-1=0，
∴切線l的方程為x+y-1=0；
（Ⅱ）切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點等價于方程ax²-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一個實數解，
令h（x）=ax²-x+ln（x+1），則h（x）=0有且只有一個實數解，
∵h（0）=0，
∴h（x）=0有一個解為x=0，
又h′(x)=2ax-1+

1

x+1

=

2ax2+(2a-1)x

x+1

=

2ax[x-( 1 2a -1)]

x+1

，
①a=

1

2

，h′(x)=

x2

x+1

≥0(x＞-1)，h(x)在（-1，+∞）上單調遞增，
∴x=0是方程h（x）=0的唯一解，
∴a=

1

2

符合題意；
②0＜a＜

1

2

，h′(x)=0，x1=0，x2=

1

2a

-1＞0，
列表如下：

x	（-1，0）	0	(0， 1 2a -1)	1 2a -1	( 1 2a -1，+∞)
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值0	↘	極小值	↗

∴h(

1

2a

-1)＜h(0)=0，h(

1

a

)=a×

1

a2

-

1

a

+ln(

1

a

+1)＞0，
∴方程h（x）=0在(

1

2a

-1，+∞)上還有一解，
∴方程h（x）=0的解不唯一；
∴0＜a＜

1

2

不符合題意；
③當a＞

1

2

，h′(x)=0，x1=

1

2a

-1，x₂=0，
列表如下：

x	(-1， 1 2a -1)	1 2a -1	( 1 2a -1，0)	0	（0，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值0	↗

∴h(

1

2a

-1)＞h(0)=0，
又當x＞-1且x趨向-1時，ax²-x＜a+1，
∴ln（x+1）趨向-∞，
∴h（x）趨向-∞．
∴方程h（x）=0在(-1，

1

2a

-1)上還有一解，
∴方程h（x）=0的解不唯一；
∴a＞

1

2

不符合題意．
綜合①②③，當l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點時，a=

1

2

；
（Ⅲ）證明：∵f（x）=ax²-2x+1+ln（x+1），
∴f′(x)=

2ax2+(2a-2)x-1

x+1

，
令k（x）=2ax²+（2a-2）x-1，
∵x＞-1，
∴f′（x）＜0等價于k（x）=2ax²+（2a-2）x-1＜0，

∵△=（2a-2）²+8a=4（a²+1）＞0，對稱軸x=-

2a-2

4a

=-

1

2

+

1

2a

＞-1，k（-1）=2a-（2a-2）-1=1＞0，
∴k（x）=0有兩個不同的解設為x₁，x₂，其中-1＜x₁＜x₂，且x1+x2=-

2a-2

2a

，x1x2=-

1

2a

，
∴當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴y=f（x）的減區間為[x₁，x₂]，
∴x2-x1=

(x2+x1)2-4x2x1

=

(- 2a-2 2a )2+4× 1 2a

=

1+ 1 a2

，
∴當a=n（n∈N^*）時，區間長度x2-x1=

1+ 1 n2

≤

1+ 1 12

=

2

，
∴減區間長度x₂-x₁的取值范圍為(1，

2

]．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數的幾何意義即在某點處的導數即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．考查了利用導數研究函數的極值，求函數極值的步驟是：先求導函數，令導函數等于0，求出方程的根，確定函數在方程的根左右的單調性，根據極值的定義，確定極值點和極值．過程中要注意運用導數確定函數的單調性，一般導數的正負對應著函數的單調性．根據極值和單調性確定函數的簡圖，利用數形結合的數學思想方法求解交點個數問題．屬于中檔題．