Question

已知a＞0，f（x）=a•e^x是定義在R上的函數，函數f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，并且曲線y=f（x）在其與坐標軸交點處的切線和曲線y=f^-1（x）在其與坐標軸交點處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）設函數g(x)=

x-m

f-1(x)

，當x＞0且x≠1時，不等式g(x)＞

x

恒成立，求實數m的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可知：函數f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點M（0，a）；函數f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點N（a，0）．利用在其與坐標軸交點處的切線互相平行，可得f'（0）=[f^-1（a）]'，從而可求a=1．
（2）由（1）可得g(x)=

x-m

lnx

(x∈(0，1)∪(1，+∞))，從而有當x＞0且x≠1時，g(x)＞

x

恒成立?

x-m

lnx

＞

x

恒成立．①當x∈（0，1）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx；②當x∈（1，+∞）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
從而可解．

解答：解：（1）由已知條件可知：函數f（x）=a•e^x（x∈R），所以曲線y=f（x）只與y軸有交點M（0，a）；函數f-1(x)=ln

x

a

(x∈(0，+∞))，所以曲線y=f^-1（x）只與x軸有交點N（a，0）．
而f′(x)=a•ex，[f-1(x)]′=

1

x

，
有    f'（0）=[f^-1（a）]'，即  a=

1

a

⇒a=±1．
而a＞0，即a=1．
（2）由（1）可得g(x)=

x-m

lnx

(x∈(0，1)∪(1，+∞))，從而有
當x＞0且x≠1時，g(x)＞

x

恒成立?

x-m

lnx

＞

x

恒成立．
①當x∈（0，1）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＞x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，x∈(0，1]，則φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

再令h(x)=2

x

-lnx-2，x∈(0，1]，則h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

當x∈（0，1）時，h′(x)=

x -1

x

＜0，所以h（x）＞h（1）=0，進而φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0
所以有φ（x）＜φ（1）=1，這樣此時只需m≥1即可；
②當x∈（1，+∞）時，

x-m

lnx

＞

x

?m＜x-

x

lnx
令φ(x)=x-

x

lnx，x∈[1，+∞)，則φ′(x)=1-

lnx

2 x

-

1

x

=

2 x -lnx-2

2 x

再令h(x)=2

x

-lnx-2，x∈[1，+∞)，則h′(x)=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

當x∈（1，+∞）時，h′(x)=

x -1

x

＞0，所以h（x）＞h（1）=0，進而φ′(x)=

h(x)

2 x

＞0
所以有φ（x）＞φ（1）=1，這樣此時只需m≤1即可；
根據題意，①②兩種情形應當同時成立，因此m=1，即其取值集合為{1}

點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查恒成立問題，有一定的難度．