Question

【題目】已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點逆時針方向旋轉角得到點.

（1）已知平面內點，點.把點繞點沿順時針方向旋轉后得到點，求點的坐標；

（2）設平面內曲線上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線，求原來曲線的方程，并求曲線上的點到原點距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1） （2）；

【解析】

設則,，根據題意, 點繞點沿順時針方向旋轉,利用代入公式求解即可;

設是曲線上任一點，是點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到的曲線上的點，則，,代入題中的公式,列出與的關系式,利用相關點法求出曲線的方程,由兩點間距離公式表示出,令,考慮函數，通過構造對勾函數并判斷其單調性求出最小值即可求出的最小值.

（1）由題意知,，設，則，

由條件得

解之得，∴.

（2）設是曲線上任一點，是點繞坐標原點

沿逆時針方向旋轉后得到的曲線上的點，

所以，，

則，即

又在曲線上,所以，

即,整理得，

故曲線的方程是，

所以曲線C上的點到原點的距離為，

令，則，考慮函數，

任取且,則，

當時，，，

所以，即，

所以在上單調遞減，

同理可證在上單調遞增，

所以.

故，即曲線上的點到原點距離的最小值為.