Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對（為自然對數(shù)的底數(shù)），恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間 (3)

【解析】分析：（1）求出，，切線方程為。

(2)先求定義域，再求導(dǎo)，，因為，所以，所以導(dǎo)數(shù)的零點只有一個，可求得單調(diào)區(qū)間。（3）對，恒有成立，等價于對，恒有成立，構(gòu)造函數(shù)，，即： ，利用導(dǎo)數(shù)可求得范圍，注意題目中。

詳解：（1）當(dāng)時，

，又

∴曲線在點處的切線方程為：

即：

（2）

∵時，∴

令，解得

令，解得

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間

（3）由題意，對，恒有成立，等價于對，恒有

成立，即：

設(shè)，

∵在上恒成立

∴在單調(diào)遞增

∴

∴只需；即：

又∵，∴

∴實數(shù)的取值范圍是