Question

【題目】如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，M，N分別是棱AA1，AB上的點，且AM＝AN＝1.

（1）證明：M，N，C，D1四點共面；

（2）平面MNCD1將此正方體分為兩部分，求這兩部分的體積之比.

Answer 1

【答案】（1）略（2）

【解析】（1）證明：連接A1B，

在四邊形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC

所以四邊形A1BCD1是平行四邊形

所以A1B∥D1C

在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，

所以，

所以MN∥A1B

所以MN∥D1C

所以M，N，C，D1四點共面.

（2）記平面MNCD1將正方體分成兩部分的下部分體積為V1，上部分體積為V2，連接D1A，D1N，DN，則幾何體D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均為三棱錐，

所以V1＝

＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D

＝××3＋××3＋××3

＝.

從而V2＝－V1＝27－＝，所以，

所以平面MNCD1分此正方體的兩部分體積的比為.