Question

曲線C上任一點到點，的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）以曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過點P的直線l截圓O的弦MN長為，求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）所求的直線l的方程為或

（Ⅰ）設G是曲線C上任一點，依題意，
∴曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半軸a=6，半焦距c=4，
∴短半軸b=，
∴所求的橢圓方程為；
（Ⅱ）由已知,，設點P的坐標為，則
由已知得
則，解之得，
由于，所以只能取，于是，
所以點P的坐標為；
（Ⅲ）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為，
若過P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為，這時，圓心到l的距離，
∴，符合題意；
若過P的直線l不與x軸垂直，設其斜率為k，則直線l的方程為，
即，這時，圓心到l的距離 
∴，
化簡得，，∴，
∴直線l的方程為，
綜上，所求的直線l的方程為或