Question

【題目】如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．

(1)求證：AB1⊥平面A1BD；

(2)求二面角AA1DB的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）通過建立如圖所示的空間直角坐標系，利用數量積，即可證明平面.

（2）利用兩個平面的法向量的夾角余弦值即可得到二面角的余弦值.

(1)證明：如圖，取BC的中點O，連接AO.

因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.

因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1中點O1，以O為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(－1，0，0)，

所以＝(1，2，－)，＝(－2，1，0)，＝(－1，2，)．

因為·＝－2＋2＋0＝0，·＝－1＋4－3＝0，

所以⊥，⊥，即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.

又BD與BA1交于點B，所以AB1⊥平面A1BD.

(2)解：連接AD，設平面A1AD的法向量為

n＝(x，y，z)．

＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．

因為n⊥，n⊥，所以

即解得

令z＝1，得n＝(－，0，1)為平面A1AD的一個法向量．

由(1)知AB1⊥平面A1BD，所以為平面A1BD的法向量．

cos〈n·〉＝＝＝－，

故二面角AA1DB的余弦值為.