Question

若函數(shù)對(duì)任意的，均有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).
（Ⅰ）判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由.
①；   ②.
（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，且（），
求證：對(duì)任意有；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否對(duì)任意均有.若成立給出證明，若不成立給出反例.

Answer 1

（Ⅰ）證明：①函數(shù)具有性質(zhì).                    ……………1分
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823181758689234.gif" style="vertical-align:middle;" />，，                                ……………3分
即，
此函數(shù)為具有性質(zhì).
②函數(shù)不具有性質(zhì).                                ……………4分
例如，當(dāng)時(shí)，，
，                            ……………5分
所以，，
此函數(shù)不具有性質(zhì).
（Ⅱ）假設(shè)為中第一個(gè)大于的值，    ……………6分
則，
因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，
所以，對(duì)于任意，均有，
所以，
所以，
與矛盾，
所以，對(duì)任意的有.                  ……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如                             ……………10分
證明：當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)，
，
當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，均為無(wú)理數(shù)，

所以，函數(shù)對(duì)任意的，均有，
即函數(shù)具有性質(zhì).                                      ……………12分
而當(dāng)（）且當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)，.
所以，在（Ⅱ）的條件下，“對(duì)任意均有”不成立.……………13分
（其他反例仿此給分.
如，，，等.） 

略