Question

【題目】已知 分別為橢圓的左、右焦點，橢圓離心率，直線通過點,且傾斜角是45°.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若直線與橢圓交于兩點，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：(1)由焦點坐標可得由離心率，可得,從而可得進而可得橢圓的標準方程；(2)由點斜式可得直線的方程為： 將代入橢圓，求出的坐標利用兩點間的距離公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得的面積.

試題解析：(1)由已知，又，

∴橢圓的標準方程是

(2)因為,

所以直線的方程為：

將代入橢圓中整理得，

,

可解得,

∴,

點到直線的距離為： ,

.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.