Question

下面有四個命題：
①函數y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②函數y=3sinx+4cosx的最大值是5；
③把函數y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

得y=3sin2x的圖象；
④函數y=sin(x-

π

2

)在（0，π）上是減函數．
其中真命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①將三角函數進行化簡，利用周期公式求函數的周期．②利用輔助角公式求函數的最大值．③利用函數的平移關系求函數的解析式．④利用三角函數的性質判斷．

解答：解：①因為y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，所以函數的周期T=

2π

2

=π，所以①正確．
②因為y=3sinx+4cosx=5（

3

5

sin?x+

4

5

cos?x），令cos?θ=

3

5

，sin?θ=

4

5

，則y=5sin（x+θ），所以函數的最大值是5，所以②正確．
③把函數y=3sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

得到y=3sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=3sin2x，所以③正確．
④因為y=sin(x-

π

2

)=-cosx，所以在（0，π）上函數單調遞增，所以④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握三角函數的性質和三角公式．考查學生的運算能力．