Question

（2013•揭陽二模）在圖（1）所示的長方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分別為AD、BC的中點，M、N兩點分別在AF和CE上運動，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C，如圖（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]
（1）當θ=45°時，求三棱柱BCF-ADE的體積；
（2）求證：不論θ怎么變化，直線MN總與平面BCF平行；
（3）當θ=90⁰且a=

2

2

．時，求異面直線MN與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的體積計算公式即可得出；
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，可證明四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明結論；
證法二：點M作MG⊥EF交EF于G，可證平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性質定理即可證明；
（3）證法一：取CF的中點為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，得∠NMQ或其補角為異面直線MN與AC所成的角，利用余弦定理求出即可；
證法二：建立空間直角坐標系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出．

解答：解：（1）依題意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=

1

2

DE•EAsin45°=

2

4

，
∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=

2

4

．
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵

MM1

AB

=

FM

FA

=

CN

CE

=

NN1

EF

，∴MM₁=NN₁
∴四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．
證法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連接NG，則

CN

NE

=

FM

MA

=

FG

GE

，∴NG∥CF．
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）證法一：取CF的中點為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，
∴∠NMQ或其補角為異面直線MN與AC所成的角，
∵θ=90⁰且a=

2

2

．∴NQ=

1

2

，MQ=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3

2

∴MN=

2

2

，----
∴cos∠NMQ=

QM2+MN2-NQ2

2MN•QM

=

6

3

．
即MN與AC所成角的余弦值為

6

3

．
證法二：∵θ=90⁰且a=

2

2

．
分別以FE、FB、FC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)，得

AC

=(-1，-1，1)，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，
∴cos＜

AC

，

MN

＞=

1

3 • 2 2

=

6

3

，
所以與AC所成角的余弦值為

6

3

．

點評：熟練掌握線面垂直的判定定理、三棱柱的體積計算公式、平行四邊形的判定和性質定理、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質定理、異面直線所成的角的定義、余弦定理、通過建立空間直角坐標系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求得異面直線的夾角．